Counting Minimal Triples for a Generalized Markoff Equation

A. Srinivasan, L.A. Calvo

Experimental Mathematics Vol. 34, nº. 2, pp. 200 - 211

Resumen:

If the generalized Markoff equation a²+b²+c²=3abc+m has a solution triple, then it has infinitely many solutions. For a positive integer m > 1, we show that all positive solution triples are generated by a finite set of triples that we call minimal triples. We exhibit a correspondence between the set of minimal triples with the first or second element equal to a, and the set of fundamental solutions of m−a² by the form x²−3axy+y². This gives us a formula for the number of minimal triples in terms of fundamental solutions, and thus a way to calculate minimal triples using composition and reduction of binary quadratic forms, for which there are efficient algorithms. Additionally, using the above correspondence we also give a criterion for the existence of minimal triples of the form (1,b,c), and present a formula for the number of such minimal triples.

Resumen divulgativo:

En este trabajo se estudia una generalización de la ecuación de Markoff y se propone un procedimiento para contar sus triples minimales. Estos triples se relacionan con el número de árboles distintos en los que se distribuyen las soluciones. El artículo aporta nuevos resultados y métodos combinatorios y de teoría de números que permiten comprender mejor la estructura y el crecimiento de estas familias de soluciones diofánticas.

Palabras Clave: Markoff triples; fundamental solutions; generalized Markoff equation; binary quadratic forms

Índice de impacto JCR-JIF y cuartil WoS: 0,500 - Q3 (2025)

Referencia DOI: https://doi.org/10.1080/10586458.2024.2338279

Publicado en papel: Abril 2025.

Publicado on-line: Abril 2024.

Cita:
A. Srinivasan, L.A. Calvo, "Counting Minimal Triples for a Generalized Markoff Equation", Experimental Mathematics, Vol. 34, nº. 2, pp. 200 - 211, Abril 2025. [Online: Abril 2024] doi: 10.1080/10586458.2024.2338279